Cap2 Penetrazione di campi statici e quasi statici nei tessuti

Un'onda e.m. che penetra nel corpo umano può subire diversi tipi di riflessione a seconda del tessuto incontrato. Un discorso analogo vale per le perdite. Affronteremo in questo capitolo tali problematiche.
Il fatto di considerare campi statici o quasi statici ci permette di separare gli effetti del campo elettrico da quelli del campo magnetico. Ciò è facilmente verificabile richiamando le equazioni di Maxwell nel dominio della frequenza:

In esse è evidente che per w quasi nullo, i due campi sono indipendenti l'uno dall'altro.
Da notare che il campo puó risultare variabile anche se in realtà è statico poiché puó essere cheil soggetto esposto sia in moto!
 

Campi elettrici in continua ed in bassa frequenza

Assumendo che i due materiali illustrati schematicamente in fig. 2.1 siano caratterizzati, rispettivamente, dalle conducibilità s1 e s2  e dalle costanti dielettriche e1 ed e2, indichiamo le componenti del campo E parallele alla superficie di separazione con E|| e le componenti perpendicolari a detta superficie con E^.

Fig.2.1 - Simboli usati nella descrizione delle condizioni al contorno per le componenti del campo

Per i campi sia statici che variabili nel tempo abbiamo:

mentre per i campi statici (DC)

come conseguenza dell'equazione di continuità della corrente (o della conservazione della carica).
Le orientazioni dei campi totali E nei mezzi 1 e 2 possono essere rappresentate dalle tangenti degli angoli compresi tra i campi totali e la superficie di separazione:

Da queste equazioni segue che:

Se il mezzo indicato con "materiale 1" è l'aria con conducibilità s1=10-13 S/m ed il mezzo indicato con "materiale 2" è un tipico  tessuto  organico con  s2 @10-1 S/m, allora risulta tgq1=1012 tgq2 e perciò anche se il campo nel mezzo 2 (campo interno) è quasi parallelo alla superficie di separazione così che q2@0.5º o tgq2@(1/100),risulterá tgq1=1010 o q1=(p/2)-10-10 radianti. Così un campo elettrostatico nell'aria sulla superficie di separazione tra l'aria e tessuto organico, deve essere praticamente perpendicolare a tale superficie.

La situazione alle ELF (Extremely Low Frequencies) è virtualmente la stessa sebbene l'eq. 2.2 debba essere sostituita dalle:

 
dove rs è la densità di carica superficiale. Sappiamo che alle ELF la costante dielettrica relativa del tessuto organico  può arrivare  fino al  valore  di 106  cosicché e2 =106e0 dove e0 è la costante dielettrica dello spazio libero (1/36p)10-9F/m; perciò è lecito assumere che e2<10-5.
Allora dalle eqq. 2.5 e 2.6 si ottiene:

che fornisce a 60 Hz con s2=10-1 S/m, s1=10-13 S/m, e2@10-5F/m ed e1@10-11F/m

Questo risultato, insieme con le eqq. 2.1 e 2.3, mostra che per le proprietà assegnate del materiale il campo nell'aria deve essere ancora praticamente perpendicolare alla superficie di separazione con un organismo vivente: tgq1@2.5*107tgq2.
Dunque, sapendo che l'organismo vivente altererà il campo E nelle sue vicinanze in modo che il campo esterno sia approssimativamente perpendicolare alla superficie di separazione, possiamo calcolare direttamente il campo interno sostituendo il campo totale con il campo perpendicolare nell'eq. 2.2 (DC) e nell'eq. 2.7 (ELF).
Per i parametri tipici del materiale dato troviamo nel caso statico (DC) ed a 60 Hz rispettivamente

 
Così, un campo esterno a 60 Hz di 100 kV/m produrrà un campo interno medio E dell'ordine di 4 mV/m.
Se il confine tra aria e materiale organico consiste di superfici curve invece che di piani infiniti, i risultati saranno modificati solo leggermente. Così per una sfera finita (mantenendo per e e s i valori assunti finora) immersa in aria, i rapporti tra campo interno e campo esterno non perturbato varieranno con l'angolo q e la distanza r indicata in fig. 2.2, ma non devieranno dai risultati indicati dalle eqq. 2.9 e 2.10 di più di un fattore 3.
 
 
Campi magnetici in continua ed in bassa frequenza

Dato che la permeabilità magnetica m della maggior parte dei materiali biologici è praticamente uguale alla permeabilità magnetica m0 dello spazio libero, 4p10-7H/m, il campo magnetico statico ed alle ELF "interno" sarà praticamente uguale al campo magnetico "esterno". Le sole eccezioni sono gli organismi come i "batteri magnetosensibili" i quali sintetizzano un materiale ferromagnetico.

Fig.2.2 - Campo E quando una sfera di raggio R, conducibilità s2 e costante dielettrica e2 è posta in un campo statico inizialmente uniforme (E=zE0) in un mezzo con conducibilità s1 e costante dielettrica e1.

La densità di carica superficiale è:

I meccanismi di interazione noti e proposti dei campi magnetici statici con materia vivente sono:

Per la legge di Faraday, un flusso magnetico variabile nel tempo indurrà campi E causando differenze di potenziale elettrico e correnti parassite indotte attraverso i possibili cammini di conduzione. Poiché per generare campi E interni anche di piccola intensità sono richiesti campi E alle ELF esterni assai elevati (come indicato dalle eqq. 2.9-2.10), molti macchinari e sistemi generanti campi sia E alle ELF che H utilizzano il meccanismo dell'induzione magnetica per produrre campi E interni fisiologicamente significativi.
Il voltaggio indotto V lungo un generico percorso chiuso è dato da

dove E è il campo E indotto. L'integrazione è effettuata sull'appropriato percorso di conduzione ed il prodotto scalare con l'elemento di superficie ds indica che solo la componente di B/t perpendicolare alla superficie (cioè parallela alla direzione del vettore ds) chiusa dal cammino di conduzione, induce il campo E. Per ottenere un'indicazione dell'ordine di grandezza della corrente indotta che ci si può aspettare come risultato di un campo H alle ELF, consideriamo il percorso circolare di raggio r, illustrato in fig. 2.3.

Fig.2.3 - Percorso circolare (loop) di raggio r che racchiude la densità di flusso magnetico uniforme ortogonale al piano del loop. In regime sinusoidale B=B0 ejwt.
L'eq. 2.11 quindi dà l'ampiezza del campo E nella forma

ove w=2pf ed f=frequenza.
L'ampiezza della densità di corrente elettrica risultante J in Ampère per metro quadrato è:
 

ove s è la conducibilità lungo il percorso data in Siemens per metro. Secondo il Sistema Internazionale, B è misurato in tesla ed r in metri.
Scegliendo per esempio un percorso circolare di 0.1 m di raggio, una frequenza di 60 Hz ed una conducibilità di 0.1 S/m, dalle eqq. 2.12 e 2.13 si ricava E=18.85 B e J=1.885 B. La densità di flusso magnetico richiesta per ottenere una densità di corrente potenzialmente significativa dal punto di vista fisiologico di 1 mA/m² è 0.53 mT ossia circa 5 G. Il campo E indotto da questa densità di flusso lungo un percorso circolare è di 10 mV/m. Per produrre questi stessi 10 mV/m di campo E interno da un campo E esterno a 60 Hz occorrerebbe, dall'eq. 2.10, un'intensità di campo di 250 kV/m! (fig. 2.4).

 
Fig.2.4 - Campo esterno E ed H richiesto per ottenere un campo interno E di 10 mV/m (il calcolo del campo H assume un percorso circolare di 0.1 m di raggio perpendicolare al flusso magnetico).
 
 

Campi RF

Entrambi i campi E ed H decrescono esponenzialmente con la distanza dalla superficie di separazione

dove g(z) è il campo alla distanza z ed A è l'intensità del campo immediatamente "all'interno" del contorno.
Come definito dall'eq. 2.14 la profondità di penetrazione d è la distanza alla quale il campo decresce di 1/e (=0.368) del suo valore entro la superficie. [A causa della riflessione, il campo A all'interno del contorno può già essere molto più piccolo del campo esterno incidente].
L'espressione per d data precedentemente è stata ricavata per superfici di separazione piane tra mezzi infiniti. Essa è sufficientemente valida anche per le strutture cilindriche se il raggio di curvatura rispetto alla profondità di penetrazione (r0/d) è maggiore di 5 circa. Per un buon conduttore

 
dove per buon conduttore si intende un conduttore per il quale è grande il rapporto p tra la corrente di conduzione, J=sE, e la corrente di spostamento, D/t=e(E/t)=jweE:

Poiché per la maggior parte dei materiali biologici p è dell'ordine di 1 (0.1<p<10) su un range di frequenza molto ampio, è spesso necessario usare l'espressione più generale

La diminuzione dell'intensità del campo con la distanza dalla superficie di contorno indicata dall'eq. 2.14, diventa significativa per molti tessuti biologici alle frequenze ove r0/d>5 non è soddisfatta. Tuttavia, l'errore risultante dall'uso delle eqq. 2.14 e 2.15 o 2.17 con oggetti curvi è minore quando z<d; così per z=0.693d, dove g(z)=0.5 A dalle eqq. 2.14 e 2.15, il corretto valore di g(z) ottenuto risolvendo l'equazione delle onde in coordinate cilindriche differisce solo del 20% (è 0.6 A) anche quando r0/d è molto piccolo. Perciò in fig. 2.5 è riportata la distanza  d=0.693d, invece che d, alla quale il campo decresce fino a metà del suo valore all'interno della superficie di separazione per il range di frequenza 1÷100 MHz, usando l'eq. 2.17 con i tipici valori per s ed e per il muscolo. E' evidente che l'effetto pelle diventa significativo per gli uomini ed i vertebrati più grandi a frequenze >10 MHz.
 

Fig.2.5 - Orientazione delle componenti del campo E alla superficie di separazione aria-muscolo (o rapporto dei campi ortogonale alla superficie); profondità (d) alla quale la componente del campo parallela alla superficie decresce del 50% circa (d=0.693d).
 

Direttamente collegato alla profondità di penetrazione, che è definita per campi variabili sinusoidalmente con il tempo, è il fatto che una rapida variazione del transitorio di una densità di flusso magnetico applicata costituisce un'eccezione alla dichiarazione che un campo H in continua entro la superficie di separazione è uguale al campo H esterno. Così, da un certo punto di vista si può considerare la rapida applicazione o rimozione di un campo H in continua come fosse equivalente all'applicare un campo ad alta frequenza durante il periodo di switching, essendo le frequenze più alte presenti dell'ordine di 1/t dove t è il tempo di risalita della funzione gradino applicata. Così, se t<10-8sec, l'effetto pelle sarà importante durante il periodo di transizione giacché d in fig. 2.5 è minore di 5 cm su 100 Mhz.
E' anche possibile calcolare direttamente la densità di flusso magnetico entro un cilindro conduttore come funzione della posizione radiale r e del tempo t quando viene applicato un impulso magnetico nella direzione assiale. Assumendo nullo il tempo di salita del campo applicato B0, cioè una vera funzione gradino, si trova che il campo all'interno del cilindro di raggio a è:

ove J0(rnk/a) è la funzione di Bessel di ordine 0 di argomento rnk/a , la sommatoria è fatta sugli zeri di J0 chiamati nk (i primi quattro valori di nk sono 2.405, 5.520, 8.654 e 11.792) e tk è il tempo di risalita del k-esimo termine della serie ed è dato da:

Se nk cresce, allora il tempo di salita diminuisce e perciò il ritardo più lungo è dovuto al primo termine nella sommatoria con k=1:

Per un cilindro di 0.1 m di raggio e con una conducibilità s@1 S/m che è un valore tipico per il muscolo tra 100 e 1000 Mhz, l'eq. 2.20 dà t1 =2.6·10-8sec. Questo tempo di salita finito (o tempo di decadimento nel caso di campo rimosso) del campo H interno può avere una qualche importanza quando i campi H impulsivi sono usati terapeuticamente. Potrebbe anche essere usato per misurare in modo non invasivo la conducibilità delle sostanze biologiche in vivo, attraverso la determinazione della velocità di decadimento finale del voltaggio indotto, in una spira di prova dal campo interno lentamente decadente dopo che il campo applicato è stato rimosso.

La perdita per riflessione sulla superficie di un organismo è una conseguenza della differenza tra le sue proprietà elettriche e quelle dell'aria. Ogni qualvolta un'onda e.m. viaggia da un materiale ad un altro con proprietà elettriche diverse, le condizioni al contorno (eqq. 2.1 e 2.6 e relazioni simili per il campo H) richiedono l'esistenza di una onda riflessa.
Le espressioni per il coefficiente di riflessione

ed il coefficiente di trasmissione

diventano piuttosto semplici per dielettrici senza perdite (p«1) e per buoni conduttori (p»1). Poiché le sostanze biologiche non sono né l'uno né l'altro, sono necessarie le espressioni più generali per G e T, applicabili alla superficie piana.
Per incidenza perpendicolare, illustrata in fig. 2.6, si ha:

 
ove h1 ed h2 sono le impedenze d'onda, rispettivamente del mezzo 1 e 2. L'impedenza d'onda di un mezzo è il rapporto del campo E su quello H in un'onda piana che si propaga attraverso quel mezzo; ed è data da:
 
Fig.2.6 - Riflessione e trasmissione di un'onda e.m. sulla superficie di separazione tra due mezzi diversi: incidenza perpendicolare (Pi=potenza incidente, Pr=potenza riflessa, Pt=potenza trasmessa).
 

Chiaramente G e T sono in generale numeri complessi, anche quando il mezzo 1 è l'aria per la quale l'eq. 2.25 si riduce alla quantità reale h0=n(m0/e0) poiché il mezzo 2, che qui è la materia vivente, usualmente ha un'impedenza d'onda complessa alle RF.

Le potenze incidente, riflessa e trasmessa sono date da:

dove i campi E sono valori efficaci (Eeff = [Emax/2]-1/2) di quantità sinusoidali, Re si riferisce alla "parte reale di...", h* è il complesso coniugato di h ed R1 ed R2 sono le parti reali di h1 ed h2. Se il mezzo 1 è l'aria, h1=R1=377W. Segue dalle eqq. 2.21, 2.22 e 2.26÷2.28 e dalla conservazione dell'energia che il rapporto tra la potenza reale trasmessa e quella incidente è dato da:

 
L'ampiezza del coefficiente di trasmissione T per l'interfaccia aria-muscolo nell'intervallo di frequenza 1÷100 MHz è riportata in fig. 2.7, la quale mostra che l'ampiezza del campo E trasmesso nel tessuto muscolare è considerevolmente più piccola di quella del campo E nell'aria.
 
Fig.2.7 - Ampiezza del coefficiente di trasmissione T per campo incidente E parallelo alla superficie di separazione. T=Et/Ei; coefficiente di riflessione G=Er/Ei=T-1. G e T sono numeri complessi.

In fig. 2.8 è mostrata la frazione della potenza totale incidente che viene trasmessa, evidenziando che la perdita per riflessione all'interfaccia decresce con la frequenza. Tuttavia, per un tessuto situato più internamente questo effetto è controbilanciato dal fatto che anche la profondità  di penetrazione d (eq. 2.17) decresce con la frequenza (fig. 2.9) cosicché la potenza totale penetrante entro la superficie decresce rapidamente.
 

Fig.2.8 - Rapporto tra potenza trasmessa e potenza incidente espresso come percentuale della potenza incidente. Interfaccia aria-muscolo, incidenza perpendicolare (eq. 2.29).
 
Oltre alla riflessione sulla superficie di separazione aria-tessuto, ulteriori riflessioni hanno luogo ad ogni discontinuità tra materiali diversi. Come esempio, è mostrata in tab. 2.1 l'ampiezza del coefficiente di riflessione sulla superficie di separazione tra muscolo e materiali organici con basso contenuto d'acqua, tipo grasso od osso.
 
Tabella 2.1
Freq. (MHz)
s
er
s/we0er=p
1
0.40
2000
3.6
10
0.63
160
7.1
100
0.89
72
2.2
103
1.65
50
0.59
104
10.3
40
0.46
105
80
6
2.4
 
La situazione è in realtà più complicata di quella riportata nelle figg. 2.6 e 2.10, poiché il fronte d'onda dell'onda e.m. incidente può essere parallelo alla superficie di separazione aria-tessuto. Sono possibili due situazioni: il campo E incidente può essere polarizzato parallelamente al piano di incidenza come riportato in fig. 2.10 (polarizzazione parallela - fig. 2.10A) o perpendicolarmente al piano di incidenza (polarizzazione perpendicolare - fig. 2.10B).
 
Fig.2.9 - Profondità di penetrazione nella pelle del campo e.m. in un tessuto muscolare al variare della frequenza del campo incidente.
 
Fig.2.10 - Incidenza obliqua di un'onda e.m. sulla superficie di separazione tra due mezzi diversi. (A) polarizzazione orizzontale (vettore E parallelo al piano di incidenza); (B) polarizzazione verticale (vettore H parallelo al piano di incidenza).
 

I coefficienti di trasmissione e di riflessione sono differenti per i due tipi di polarizzazione e diventano anche funzioni dell'angolo di incidenza a1:

 
ove a2 è ricavato dalla legge di Snell generalizzata (quando entrambi i mezzi hanno la permeabilità magnetica dello spazio libero) mediante l'espressione:

così che cos a2 =[1-sin2 a2 ]1/2 è un numero complesso a meno che p2 =(s/we2)«1.
Come esempio è mostrata in fig. 2.11 la variazione con l'angolo di incidenza a 10 MHz del coefficiente di trasmissione per la polarizzazione perpendicolare all'interfaccia aria-muscolo. E' evidente che in questo caso il campo trasmesso non necessariamente è massimizzato dall'incidenza perpendicolare. Inoltre, ogniqualvolta p@1 o p>1 (vedi tab. 2.1) a2 è complesso e ciò causa che l'onda entrante nel tessuto sia non omogenea. [Ci sono onde piane non semplici, cioè onde ove le superfici equifase ed equiampiezza non coincidono; solo i piani equiampiezza sono paralleli alla superficie di separazione].
 

Fig.2.11 - Ampiezza del coefficiente di trasmissione complesso per polarizzazione perpendicolare confrontata con l'angolo di incidenza a1 a 10 Mhz (campo E nel piano di incidenza, campo H parallelo al piano di separazione; a2=0.7 S/m, er2=150, T=Et/Ei).

Rimandiamo comunque per ulteriori approfondimenti al testo da cui è stata tratta questa parte: