METODO DI MOMENTI (MOM)

E’ un metodo che risale al 1968. Il metodo FDTD discretizza lo spazio in 4 dimensioni (x,y,z,t) utilizzando
le equazioni di Maxwell.
Il metodo MOM ha un approccio opposto in quanto va ad analizzare il campo all’interno del mezzo in maniera
integrale, successivamente si discretizza.La procedura di implementazione di tale metodo è la seguente:
considerando la relazione L(f)=g in cui :
f è una funzione di tipo integrale o differenziale, rappresenta la risposta del sistema alle sollecitazioni;
g è il termine noto, in particolare nei problemi elettromagnetici è l' eccitazione ossia le sorgenti impresse
o campi primari.
L è un operatore.

In generale si cerca una procedura che risolva il problema di analisi.

L(f)=g

Si opera un espansione in serie di f :

in cui le sono le funzioni base.

Approssimando all'ordine N si ottiene:

quindi :

 

introducendo una serie di funzioni dette funzioni peso si costruisce un sistema di N equazioni in N incognite:

 

 

La matrice dei coefficienti del sistema sarà:

 

 

<a,b> rappresenta il prodotto scalare.

Le devono essere in grado di soddisfare le condizioni al contorno.

Per migliorare l'accuratezza si possono scegliere variabili nel dominio d'interesse. Un'errata scelta delle
funzioni base può comportare una cattiva convergenza del procedimento di calcolo numerico o addirittura
assenza di convergenza.
Consideriamo che il materiale sia:

 

Il campo totale in un punto all’interno del materiale è dato dalla somma del campo calcolato in quel punto, considerando lo spazio libero (ossia senza materiale) più il campo dovuto al contributo delle particelle del materiale calcolato come la somma dei campi generati dalle singole particelle viste come sorgenti infinitesime equivalenti (è’ un problema di scattering).

Sia:

il campo incidente la locazione all’interno del corpo nel punto r considerando il corpo assente.

il campo totale nel punto r.

il campo nel punto r’ all’interno del corpo.

 

-r variabile corrente

di osservazione del campo

-variabile di posizione

della sorgente

 

si ha la Electric Field Integral Equation (EFIE):

in cui l’integrale corrisponde al seguente prodotto di convoluzione

con

numero d’onda

costante dielettrica complessa alle varie locazioni

funzione di Green in tre dimensioni nello spazio libero

 

v’ volume del corpo.

Partendo da tale equazione e scomponendo lo spazio in N cubetti si otterrà una matrice vettoriale N*N descrivente l’accoppiamento tra le varie celle. La corrispondente matrice scalare sarà ovviamente 3N*3N allora l’equazione in forma matriciale risulta:

 

 

se conosco gli autovalori di A noto è facile poi trovare

dove:

 

è un vettore di 3N componenti non noto

è un vettore di 3N componenti incidenti le N celle in assenza di corpo.

 

 

 

 

La soluzione dell’equazione matriciale, con il metodo convenzionale dell’eliminazione di Gauss oppure con il metodo del gradiente coniugato, richiede un ordine di moltiplicazioni pari a e un numero di passi computazionali tra e .
Questi ordini computazionali crescono rapidamente con l’aumentare del numero di celle. Di conseguenza non è stato possibile applicare il metodo tradizionale dei momenti alla rappresentazione con il modello a blocchi per un numero N più grande di 1132.
Poiché il prodotto di convoluzione nel dominio delle frequenze diventa un prodotto sono stati sviluppati algoritmi iterativi altamente efficienti con la FFT: Fast Fourier Transform.

 

FFT

 

La FFT ha permesso di operare su un modello non-omogeneo di corpo umano costituito da 5607 celle.
Approssimando la sorgente di corrente di polarizzazione con un espansione finita si ha:

 

dove d è l'incremento di griglia.

Inserendo tale equazione nella EFIE e forzando l'uguaglianza di quest'ultima nei punti di griglia si ottiene il sistema di equazioni :

 

Poiché' la griglia è equispaziata questa equazione può ereditare la forma di convoluzione dalla EFIE.
Questa forma può essere esplosa in modo tale da ridurre l'ordine delle operazioni aritmetiche a ,
inoltre, non è necessario memorizzare alcuna matrice dato che sono richieste solo le componenti 3D di G relative
alle FFT.
Ciò dà un metodo efficiente per calcolare prodrotti matriciali e , dove A è la matrice operatore implicito della equazione precedente (L'apice H indica la matrice trasposta complessa coniugata), x è un vettore.

 

CGM

Per risolvere il sistema si è usato un metodo di calcolo di prodotti matrici/vettori di tipo gradiente coniugato(CGM). Il CGM è diventato recentemente molto diffuso come mezzo di risoluzione dei sistemi ottenuti con il MOM.
La versione più usata di questo algoritmo fu ideata da Hestenes e Stiefel e fu introdotta da Sarkar nei problemi elettromagnetici. Sfortunatamente questo metodo spesso richiede un grande numero di operazioni per convergere e ciò perché il CGM si applica solo su matrici ermitiane definite positive. Applicato a sistemi non ermitiani richiede preliminarmente una "squadratura" del sistema originale con la matrice trasposta coniugata, per dare le equazioni normali. Il CGM e' quindi applicato al sistema ermitiano Poiché il numero di iterazioni necessario per la convergenza è asintoticamente uguale alla radice quadrata del numero di condizioni, questa procedura può dare una lenta convergenza. Per superare questa difficoltà il CGM è stato sostituito con il metodo del gradiente biconiugato (BCGM) sviluppato da Fletcher, 1975. I1 BCGM si applica direttamente a matrici non ermitiane senza la formazione di equazioni normali ed e' stato verificato che converge con velocità paragonabile al CGM applicato a matrici ermitiane delle stesse dimensioni. Sono state fatte esperienze con tale metodo che hanno dimostrato una drastica riduzione del numero di iterazioni necessarie al CGM applicato a equazioni normali per sistemi ottenuti dall'equazione EFIE. Dopo aver testato l'accuratezza della nuova formulazione con sfere di prova, contenenti materiale dielettrico con perdite, sia interamente omogeneo, che omogeneo a cubetti, è stato usato un modello di uomo con 5607 celle esposto ad onde piane a 30 e 100 MHz con e senza messa a terra. Usando il CRAY II il tempo di calcolo è all'incirca di 10 minuti. L'occupazione di memoria è proporzionale al numero N di celle ed il tempo di calcolo è dato da .

 

 

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