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4.4 Determinazione del Campo Termico

Una volta determinato il campo E.M. e quindi la potenza da esso dissipata, è di interesse fondamentale determinare il campo termico. A tale scopo, si considerano i diversi flussi termici per unità di volume.
Wb è la quantità di sangue che fluisce in un secondo nell'unità di volume del tessuto. Poichè l' ipertermia a microonde si utilizza per riscaldare solo una piccola parte del corpo, non si hanno fenomeni di termoregolazione globale , si ha invece che il flusso sanguigno locale cresce con variazioni positive della temperatura. A causa di questo fenomeno termoregolatorio, Wb è funzione di (T-Tb), ove Tb è la temperatura del sangue, che si assume essere quella di riferimento per il sistema termoregolatore (@37°C). Sperimentalmente risulta

Mentre il calore rimosso dal sangue che fluisce nel tessuto, per unità di volume: rb è la densità di massa del sangue, Cb il calore specifico.
Il calore rimosso dal sangue che fluisce in un grosso vaso eventualmente presente nel volumetto: dove u b è la velocità del sangue nel vaso. In questa trattazione si trascura questo termine, in quanto l'ipertermia a microonde è usata solo per tumori a piccola profondità, cioè in zone in cui sono presenti solo capillari e non grossi vasi sanguigni.
Il calore scambiato per conduttività termica interna vale: La conducibilità K  risulta funzione di T, in quanto somma della K dei tessuti (invariante con T) e della K  'Conduttività di perfusione', dovuta al sangue presente nel volumetto in esame, che si assume proporzionale a Wb(T). Risulta dunque: Qm è il calore prodotto per metabolismo,che si assume costante nel tempo per un dato tipo di tessuto perchè il trattamento è locale (non interviene il sistema termoregolatore). Qem è il calore dissipato nel volumetto dal campo E.M., cioè Scrivendo il bilancio di tutti questi flussi, si ottiene la cosìdetta 'bio-heat equation': Il termine a primo membro rappresenta la quantità totale di calore scambiato dal tessuto con l'esterno, misurata tramite la variazione di temperatura;
r = densità di massa del tessuto;
c = calore specifico.
La bio-heat equation è una equazione differenziale a coefficenti non costanti; per risolverla si possono usare metodi numerici alle differenze finite, nel qual caso i coefficenti variabili non creano alcun problema (basta aggiornare i valori ad ogni step), oppure si possono introdurre delle approssimazioni per arrivare ad un risultato in forma chiusa. Il risultato in forma chiusa, più comodo da maneggiare rispetto ad una tabella, è di grande aiuto nella fase di progettazione delle apparecchiature, che devono avere caratteristiche 'medie', adatte ad un paziente generico. Se però si vuole calcolare il campo all'interno del corpo di un paziente, che può avere caratteristiche somatiche sensibilmente differenti dalla media, è meglio affidarsi a tecniche numeriche.
Per risolvere la bio-heat equation sono in ogni caso necessarie una condizione iniziale:
T( r ,t)  (nota ovunque per t = 0), e una al contorno, cioè sulla superficie che racchiude il volume in esame: ove h è il coefficiente di convezione (conduttività superficiale) e Te è la temperatura esterna, che non è i soliti 300K in quanto, per evitare danni ai tessuti sani, si applicano sulla pelle buste di plastica ripiene di ghiaccio; d/dn è la derivata secondo la normale uscente alla superficie.

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4.4.1Metodo della Linearizzazione dei Coefficenti

Questo metodo permette di risolvere in forma chiusa la bio-heat equation, introducendo però la approssimazione che Wb (e quindi K) sia costante rispetto a T. Questa ipotesi non è molto realistica, in quanto il flusso sanguigno dipende esponenzialmente, e quindi fortemente, da T.
Ciò non di meno si ottiene il sistema:

Ora, si costruisce un opportuno problema agli autovalori, per poi poter esprimere la T come combinazione lineare di autofunzioni Supponendo di avere autovalori semplici e autofunzioni reali, con la prescelta condizione al contorno, si può dimostrare che: e allora si possono normalizzare le autofunzioni in modo che sia cioè si ottiene un sistema di funzioni ortonormali. Posto si esprime la temperatura come combinazione lineare di autofunzioni. Le f soddisfano ad una condizione al contorno omogenea, mentre T soddisfa ad una condizione al contorno non omogenea in cui compare la temperatura esterna Te: pertanto, la (41) non converge sulla superficie del contorno, cioè, in termini matematici, non converge uniformemente, quindi è integrabile ma non derivabile termine a termine rispetto alle coordinate spaziali e derivabile rispetto al tempo.
Usando la (41) nella bio-heat equation si ha: Moltiplicando per fj e integrando su V: Poichè la T non è derivabile termine a termine rispetto alle coordinate spaziali, si cerca di trovare un artificio per far scomparire le derivate spaziali di T.
Usando la (39) con fj e ÑT si ha: Integrando su V, usando il teorema della divergenza e sostituendo nella (43), si può scrivere in cui la Fj(t) dipende da t esclusivamente tramite Qem .Risulta infatti Per risolvere questa equazione si definisce da cui La costante Cj si ricava dalla condizione inziale Se si suppone che sia Qem(t) = cost. Þ Fj(t) = Fj= cost. , cioè considerando che all'inizio del transitorio termico il campo EM sia a regime, il che si è già detto essere realistico: A questo punto, poichè si conoscono le  f, le l e le q, si può determinare la T( r ,t) direttamente tramite la (41). A regime, quando è terminato anche il transitorio termico, è Di solito il transitorio termico dura alcuni secondi e ciò convalida la ipotesi Qem(t) = cost., in quanto il transitorio E.M. dura al massimo qualche microsecondo.

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4.4.2 Metodo delle Tangenti Generalizzato

Il metodo delle tangenti o di Newton permette di calcolare lo zero di una F(x), supposta continua e derivabile infinite volte, tramite iterazioni successive ripartendo ad ogni step dall'intersezione tra l'asse X e la tangente alla F(x) nel punto precedente.
Si parte da F(x0)¹0 e si determina x1 tale che

e se F(x1)¹0 si calcola x2 tale che e così via.Formalmente Le iterazioni si arrestano quando ove e è una tolleranza prefissata. Analogamente, per un operatore Q si cerca uno zero-funzione T(..) tale che Q( T ) = 0. con Considerando valori di K e di Wb relativi alla temperatura Tm che è la media di T( r ) sul corpo Si nota qui il miglioramento rispetto al primo metodo: anzichè considerare K e Wb costanti, si aggiorna il loro valor medio ad ogni iterazione. Risulta: A questo punto, per la (60) si ottiene l'equazione: simile a quella del problema lineare e quindi risolvibile nello stesso modo. Il miglioramento è la possibilità di modificare ad ogni iterazione, cioè ad ogni nuova Tn, i valori "medi" Km e Wbm . Si ha allora bisogno di una condizione al contorno e di una iniziale per qn .
Le condizioni al contorno per Tn + qn e per Tn sono: Sottraendo membro a membro si ricava: Inoltre per t = 0, la condizione iniziale risulta: Si risolve con metodo iterativo finchè q non è molto piccolo.

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4.4.3 Problema stazionario unidimensionale

Come è stato fatto per il problema E.M. usando il metodo della linea di trasmissione, così è possibile procedere per il problema termico: si ipotizza di essere in geometria unidimensionale, cioè che T vari solo lungo l'asse X. Inoltre, si considera il campo termico a regime.
La bio-heat equation diventa:

con le condizioni al contorno Si potrebbe usare un metodo numerico di integrazione al passo, che calcola la funzione a partire da x0 conoscendo i valori in x0 di T e della sua derivata prima: le condizioni al contorno usate, però, sono formulate in maniera diversa. Si adotta allora un metodo di puntamento, simile a quello usato in artiglieria. Sviluppando la bio-heat equation stazionaria unidimensionale si ottiene: Assumendo come valore di tentativo T(x0) = Tp si pone e si esegue un'integrazione al passo; una volta giunti ad xn, si calcola l'errore sulla condizione al contorno: Si riparte con un nuovo valore di Tp e si calcola il nuovo errore. Da ora in poi, ogni nuovo Tp viene calcolato applicando il metodo delle secanti all'equazione E (Tp) = 0 :
Tp3 è la intersezione con l'asse Tp della retta che unisce i punti
Fig.11
 
Il processo si arresta quando E (Tp)  è sufficientemente piccolo: la funzione T(x) è quella tabulata durante l'ultima iterazione. L'ipotesi di problema stazionario unidimensionale è spesso adottata perchè non richiede di eseguire calcoli troppo complicati.

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