Cap5b

Equazione di Debye
La risposta dielettrica ad un campo sinusoidale E, nel dominio della frequenza, fu studiata da Debye ed essa si ottiene trasformando l’equazione 14) nel dominio di Fourier:

Questa é l’equazione di Debye, che ora è possibile separare in parte reale e parte immaginaria:

I valori e_¥,e_s,s_¥,s_s sono legati dalla relazione:

Se si studia l’andamento di e¢ : per w ® ¥ si ottiene e_¥ ; per w ® 0 si ha e_S.
Questo comportamento tiene conto del fatto che i dipoli si orientano, in direzione del campo esterno applicato, in bassa frequenza e smettono di farlo in alta frequenza (rilassamento); questo implica, quindi, che e_¥ < e_S . Inoltre e² è tale che, se si trascura il termine dovuto alle cariche libere (s_S/we₀) , tende a zero sia per w ® ¥ sia per w ® 0. Quindi, questo termine, che tiene conto delle perdite per orientazione, ha un andamento a "campana" con il massimo alla frequenza di rilassamento (wt=1).
E’ possibile scrivere, adesso, una relazione di dipendenza dal tempo per la densità di corrente J analoga a quella vista in precedenza (Eq. 14) : 16)

Nel dominio della frequenza questa equazione diventa:

17)

La frequenza di rilassamento f_c = 1/2pt è la frequenza alla quale la permittività è a metà strada tra i valori di alta e bassa frequenza.

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Andamenti in frequenza di e¢,e² e s_eq
Si possono vedere graficamente le considerazioni fatte in precedenza sull’andamento in frequenza per e¢, e² e s_eq.
I grafici seguenti sono normalizzati sia per le ascisse (frequenza) sia per le ordinate (e¢, e² e s_eq) :

FIGURA 4 -Rilassamento a singola costante tempo.

(A) Permittività relativa in frequenza

(B) Conduttività in frequenza
(C) Perdite in frequenza, è mostrato anche (curva tratteggiata) il contributo della conduttività in continua (spostamento di ioni)
(D) Circuito equivalente che esprime l’equazione di Debye

Nella situazione di singola costante tempo la frequenza di rilassamento che si osserva in (A) e in (B) è identica; invece, in presenza di più costanti tempo distribuite la frequenza di rilassamento mostrata nel grafico (B) sarà, in generale, maggiore di quella mostrata in (A).

A commento della Figura 4 si osserva che: e² è costituita da due termini, quello di conducibilità che decresce all’aumentare della frequenza ed un termine con comportamento risonante a larga banda (due decadi). Come si è visto e² è un termine che misura le perdite da riscaldamento dovute alle oscillazioni dei dipoli; il suo massimo è a f = fc, frequenza in corrispondenza della quale si ha il massimo attrito (metà delle molecole seguono il campo e metà no) e cioè il massimo assorbimento di energia.

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Interpretazione circuitale dell'equazione di Debye
E’ possibile dare anche una interpretazione circuitale dell’equazione di Debye ( Fig. 4 D):

e_¥

2) effetto resistivo dato dalla 1/s_S (perdite dovute alla conducibilità del materiale);

3) comportamento risonante a fc = 1/t schematizzato da un circuito RC (la resistenza t/(e_S-e_¥) rappresenta le perdite per attrito dovute alla rotazione dei dipoli elementari).

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Rappresentazione nel piano complesso di e_c
Nei grafici precedenti si è visto l’andamento in frequenza di e¢ ed e²; è possibile ora rappresentarli con un unico grafico nel piano complesso, dato che e_c = e¢ -je². Se si elimina wt nelle equazioni di e¢ ed e² si ottiene la seguente equazione, rappresentabile nel piano complesso:

Da questa equazione si nota che, nel piano complesso, la rappresentazione della e_c, per un fenomeno di rilassamento a singola costante di tempo, è una semicirconferenza il cui centro si trova sull’asse reale nel punto e_¥ + (e_S - e_¥)/2 e il cui massimo si ha per f = fc .

FIGURA 5

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Rappresentazione in funzione della frequenza di e¢ e e² nel caso di più fenomeni di rilassamento
Si è visto finora il caso semplice di singola costante tempo (in pratica di dielettrico composto da molecole di uguale natura e dimensione); nel caso reale di interesse, cioè nel quale il dielettrico è costituito da tessuto biologico, si avranno più fenomeni di rilassamento, ciascuno con la propria costante di tempo. In prima approssimazione è possibile considerare il caso in cui le costanti di tempo siano notevolmente diverse tra loro (t₁ << t₂ << t₃ ....<<t_n ), sotto questa ipotesi la risposta del dielettrico ad una eccitazione a gradino di ampiezza E può essere rappresentata come una sovrapposizione di processi del primo ordine, da cui si ottiene perciò la seguente equazione:

o, nel dominio della frequenza:

Se è verificata l’ipotesi t₁ << t₂ << t₃ ....<<t_n si ottiene, nel piano complesso, una serie di circonferenze distinte che hanno il centro sull’asse reale e lo intersecano nei punti:
e_¥ , e_¥+De₁ , e_¥ +De₁ + De₂ , ....... e_¥ +De₁ + De₂ + ......+ De_n FIGURA 6

Il massimo per la prima semicirconferenza si ha in corrispondenza di e¢ = 4, in corrispondenza di tale massimo si ha la f_c dell’ultimo fenomeno di rilassamento; in modo analogo si hanno gli altri due massimi in e¢ = 11 (f_c2) ed in e¢ = 16 (f_c3).
Se, invece, si graficano separatamente parte reale e parte immaginaria della e_c si ottengono gli andamenti riportati in figura per e¢ ed e²: FIGURA 7

FIGURA 8

Se non vale l’ipotesi t₁ << t₂ << t₃ ....<<t_n , cioè le varie costanti di tempo non sono ben separate e se inoltre non si considera vera l’ipotesi, fatta in precedenza, di variazione di polarizzazione proporzionale (tramite t) alla differenza tra valore finale e valore istantaneo di P (dP(t) / dt = 1/t [e₀cE - P(t)] ), non è più valida l’equazione di Debye.
Si deve, perciò, far ricorso ad una equazione integrale ed introdurre una p(t) che è una funzione di densità di probabilità:

dove, per la p(t) vale la relazione:

p(t) fornisce la percentuale, rispetto al numero complessivo, delle molecole che hanno una determinata t.
In questo caso si ha una situazione più complessa, dal punto di vista del riconoscimento del materiale in esame, perché si devono specificare dei parametri che permettano di identificare p(t) e ciò non è semplice visto che i dati sperimentali, sui tessuti biologici, hanno una certa variabilità.
E’ possibile riscrivere la 19) nel dominio della frequenza e si ottiene la costante dielettrica complessa:

Si è accennato alla difficoltà di determinare con precisione la p(t) e si deve inoltre sottolineare che la scomposizione rappresentata nella 19) e nella 20) è solo un processo formale e il fatto che sia verificata non implica la reale presenza di fenomeni fisici collegati ad essa.

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