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Funzione di rilassamento di Cole&Cole
Per risolvere il problema di  t paragonabili si sono studiate varie equazioni empiriche che, anche se non conducono ad una conoscenza approfondita dei meccanismi interni coinvolti, permettono di parametrizzare i dati sperimentali. Una di queste funzioni di rilassamento empiriche è quella proposta da  Cole & Cole:
 

Questa equazione può essere separata in parte reale e parte immaginaria:
  Al variare della frequenza, l’andamento di  e²-sS/we0  in funzione di e¢ è dato, nel piano complesso, da una circonferenza: dove: Il massimo della funzione di Cole & Cole si ha per f  = fc  dove fc è la frequenza di rilassamento media. Graficamente si ottengono le figure 9) A e B.
La funzione di distribuzione p(t) che si dovrebbe inserire nella 19) per ottenere l’equazione di Cole & Cole è: dove  t0 = (2pfc)-1 è il tempo di rilassamento medio.
 

 
(A) Grafico della permittività complessa dell’equazione di Cole & Cole (è evidenziato l’andamento semicircolare schiacciato che è una caratteristica di molti materiali biologici).

    (B) Andamento della permittività e della conduttività nell’equazione di Cole & Cole; il parametro di distribuzione a è uguale a 0.6 e ciò equivale a considerare un ampio intervallo di tempi di rilassamento. 

L’equazione di Cole & Cole si riduce a quella di Debye per a = 0; si osserva dalla figura 9)A che il centro della circonferenza non si trova sull’asse delle x ma la sua posizione è funzione di a (parametro di distribuzione). Il fenomeno descritto da Cole & Cole interessa un campo di frequenze più ampio perché prende in considerazione dipoli con caratteristiche diverse che , quindi, rilassano a frequenze diverse, con conseguente allargamento della banda; perciò, ad ogni frequenza, si hanno più fenomeni sovrapposti.

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Relazioni di Kramers-Kronig
Siccome la costante dielettrica complessa ec si riferisce ad un sistema fisicamente realizzabile la sua parte reale (e¢) e la sua parte immaginaria (e²) non saranno indipendenti ma dovranno essere consistenti con le relazioni di Kramers-Kronig:
  Per valori fissati di eS ed e¥  l’area sotto la curva di perdita, quando la  e² è graficata in funzione del logaritmo di f deve essere indipendente dalla distribuzione dei tempi di rilassamento; per f  ® 0  la  21) diventa: Le relazioni di Kramers-Kronig derivano da ipotesi molto generali, le principali sono: la linearità della risposta e la causalità. Queste relazioni si riferiscono a materiali dielettrici con arbitrarie distribuzioni di tempi di rilassamento; il limite principale è che il campo applicato deve essere di intensità tale da permettere una risposta lineare, si ha cioè una limitazione sul massimo campo applicabile. Un secondo limite deriva dal fatto che, non sempre, per materiali biologici, le proprietà del sistema sono invarianti nel tempo, comunque questo non è un grosso problema dato che una ipotesi del genere rispetta abbastanza bene la realtà.

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Interazione microscopica
Finora è stato trattato il problema della caratterizzazione del materiale biologico da un punto di vista macroscopico; si è cioè studiato il problema del riconoscimento dielettrico (riconoscimento della composizione di un dielettrico tramite misure esterne).
Lo studio di un materiale può essere affrontato anche sotto l’aspetto microscopico ed infine si possono trovare delle relazioni che legano ciò che avviene a livello macroscopico con ciò che avviene a livello microscopico. Ad esempio, facendo alcune misure dall’esterno del dielettrico, si trova che la e è caratterizzata da una certa frequenza di rilassamento; conoscendo poi ciò che è avvenuto a livello microscopico è possibile dedurre quali molecole hanno "rilassato" ad una determinata frequenza e quali fenomeni sono intervenuti a livello atomico e molecolare. In definitiva, quindi, tratteremo i meccanismi d’ interazione fra c.e.m. e molecole: interazione microscopica.

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Distinzione tra molecole polari e non
Le molecole possono essere divise in due classi: polari e non polari. Le molecole polari hanno, nel loro livello energetico più basso, un momento di dipolo elettrico m intrinseco cioè senza applicazione di un campo esterno E; le non polari, in condizioni di assenza di campo, non hanno momento intrinseco. L’intensità di un momento di dipolo molecolare è uguale al prodotto tra due cariche distinte e la loro distanza; come ordine di grandezza è stata presa la carica dell’elettrone (q = 1,6 ´ 10-19 C) moltiplicata per una distanza dell’ordine delle dimensioni interatomiche (0,25 ´ 10-10 m); storicamente questa grandezza viene misurata in Debye (1 Debye = 3,33 ´ 10-30 cm). Lo scopo principale è di determinare le proprietà delle sostanze dielettriche contenenti molecole che hanno momento di dipolo intrinseco m, in assenza di campi o sottoposte a perturbazioni esterne. Si deve osservare che una molecola libera oltre ad avere il suo moto di traslazione è dotata anche di moti oscillatori e rotazionali. E’ possibile, comunque, semplificare la trattazione assumendo che questi ultimi non alterino il valore medio  del momento del dipolo (  ).

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Polarizzazione elettronica, atomica e dipolare
Quando un campo elettrico E1 viene applicato ad un materiale, esso influenza le molecole in due modi: in primo luogo perturba la rotazione libera del dipolo ed in secondo luogo introduce un momento di dipolo aggiuntivo (aE1). Il momento totale sarà quindi: dove a è chiamata polarizzabilità delle molecole ed è data dalla somma di due termini; con      ae  =  polarizzabilità elettronica  ed   aa =  polarizzabilità atomica.
Nella polarizzabilità elettronica il campo applicato E  causa, in ogni atomo, lo spostamento della nube elettronica rispetto al nucleo . Nella polarizzabilità atomica il campo E  provoca uno spostamento relativo tra i nuclei di atomi vicini ( Fig. 10)
 
 
FIGURA    10
 
 
 (a) Rappresentazione schematica della polarizzazione elettronica.
 
 
(b) Rappresentazione schematica della polarizzazione atomica.

Si cerca ora un legame tra aspetti macroscopici e microscopici di interazione  esprimendo, perciò, il vettore di polarizzazione P come prodotto di N (numero di dipoli per unità di volume) ed  (valor medio dei momenti di dipolo sotto l’azione di un campo locale E1):

dove  è il valor medio dei momenti di dipolo delle molecole polari. Questa relazione fornisce l’equivalenza tra il vettore di polarizzazione P e il momento di dipolo elettrico per unità di volume del materiale; questo momento è dato, infatti, dall’azione di N momenti di dipolo elementari cioè appunto N . La quantità   può essere espressa in funzione del campo elettrico esterno applicato; infatti, sotto l’azione del suddetto campo, i dipoli subiscono l’effetto di una coppia che tende ad allinearli secondo la direzione del campo. L’agitazione termica si oppone però a questa tendenza ad orientarsi.
E’ possibile scrivere, dalle osservazioni fatte adesso, la relazione: dove ad è la polarizzabilità dipolare (orientazione).
FIGURA   11
 
 
-Rappresentazione schematica della polarizzazione dipolare.

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